Harmoninen oskillaattori

 

Aaltoliikeopin kurssista tiedämme, että harmoninen voima

 

                      F = -kx          (1)

 

synnyttää värähdysliikkeen.

 

Tarkastellaan liikeyhtälöä, joka (1):stä seuraa.

Nopeudelle saadaan

 

                         (2)

yhdistetään tähän paikan ja nopeuden välinen relaatio

 

                                (3)

Näin saadaan differentiaaliyhtälö, jossa esiintyy paikan toinen derivaatta ajan suhteen

 

                                            (4)

Tämä voidaan kirjoittaa usein käyttökelpoiseen muotoon

                     

                                     (5)

 

Yhtälö (4) tai (5) voidaan ratkaista monilla eri tavoilla.  Tarkastellaan tässä niistä kolmea opettavaista.

 

Trigonometriset funktiot

 

Tehtävä 1

 

                      Etsi päästäsi tai jostain trigonometristen funktioiden derivointisäännöt:

 

                                            D sin(x) =

                                            D cos(x) =

Tehtävä 2

                      Laske sitten lisää derivaattoja

 

·        D2sin(x)

·        D2cos(x)

·        Dsin(ωx)                  ω on vakio

·        Dcos(ωx)

·        D2sin(ωx)

·        D2cos(ωx)

Tehtävä 3

Edellinen derivointi toivottavasti sai sinut huomaamaan sukulaisuuden tarkasteltavan differentiaaliyhtälön ja trigonometristen funktioiden välillä

 

Tarkastellaan ensin yksinkertaisempaa yhtälöä

                      y”(x) + y(x) = 0

eli                   y”(x) = - y(x)                       (6)

Tehtävästä 2 huomataan, että sekä sin(x) että cos(x) toteuttavat tämän.  Ne ovat yhtälön yksityisratkaisuja.

 

 

Yleiseen ratkaisuun on otettava ne molemmat.

 

Osoita, että ratkaisu  y(x) = A cos(x) + B sin(x) on yhtälön 6 ratkaisu.

 

Ihmettelet ehkä, miksi integroimisvakiot A ja B asetettiin noin!

 

Tehtävä 4

 

Osoita, että y(x) = A cos(x) + B sin(x) +D ei olekaan tehtävän 6 ratkaisu.

 

Palataan sitten alkuperäiseen yhtälöön (5).  vakioiden ongelmasta päästään myös tehtävän 2 avulla.

 

Tehtävä 5

 

Osoita, että valitsemalla sopiva ω saadaan (5):n yksityisratkaisuksi x(t) = A cos(ωt)

Mikä onkaan ω.

 

Tehtävä 6

 

Osoita sitten, että Yleiseksi ratkaisuksi yhtälölle (5) tulee saamallasi ω:n arvolla

 

                      x(t) = A cos(ωt) + B sin(ωt) (7).

 

Tehtävä 7

 

Johda kaavasta (7) nopeuden v(t) lauseke.

 

Tehtävä 8

 

Otetaan mukaan alkuehto , että hetkellä t= 0 värähtelijä on origossa.  Miten ratkaisu 7 muuttuu?

Tehtävä 9

 

Piirrä  tehtävän 8 alkuehdon tapauksessa x(t) ja v(t). Miten A:n ja ω:n arvojen muuttaminen vaikuttaa.

 

Tehtävä 10

 

Osoita, että värähdysajalle saadaan peruskurssilla ilmasta vetäisty kaava:

 

                     

 

Tehtävä 11

 

Miksi olisi mielekkäämpää valita tehtävään 8 alkuehdoksi x(0) = B? Miten tulokset muuttuisivat?

 

Tehtävä 12

 

Tulos (7) voidaan esittää myös yleisessä muodossa vaihekulman avulla

 

                      x(t) = C cos(ωt-φ)               (8) 

 

missä    ja

 

Osoita, että (8) on yhtälön (5) ratkaisu.

 

Tehtävä 13

 

Jos hermosi kestävät voit trigonometristen kaavojen avulla johtaa tuloksen (8) tuloksesta (7).

 

Eksponenttifunktio

 

Jos yhtälössä (6) vaihdetaan merkki:

 

                      y”(x) = y(x)                          (9)

 

ei ratkaisu enää olekaan trigonometrinen.  Muistetaan kuitenkin, että eksponenttifunktion derivaatta on funktio itse.  Niinpä (9):n yksityisratkaisu onkin

 

                      y(x) = Aex.

 

Kuten ehkä oletkin jo oivaltanut on toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöillä aina toinenkin yksityisratkaisu. tässä tapauksessa

                      y(x) = B e-x

 

Tehtävä 14

 

Osoita, että funktio y(x) = A ex + B e-x  on yhtälön (9) ratkaisu.

 

Herää kysymys voidaanko yhtälö (6): y”(x) = - y(x)          myös ratkaista eksponenttien avulla.

Kyllä voidaan, mutta sellaisten, joiden eksponentit ovat imaginaarisia.  Niihin siis tulee imaginaariyksikkö

 

                      i, jolle i2 = -1.

 

Tehtävä 15

 

Derivoi

·        D eix

·        D e-ix

·        D2eix

·        D2e-ix

Tehtävä 16

 

Osoita, että yhtälön (6) ratkaisu on

 

                                    (10),              missä α ja β ovat integroimisvakiot

 

 

Nyt voidaan kysyä onko tämä ratkaisu eri ratkaisu kuin tehtävässä 3 saatu ratkaisu

                     

  y(x) = A cos(x) + B sin(x)  (11)

 

Tunnettu matemaatikko Euler osoitti, että ne ovat sama ratkaisu.  Trigonometriset funktiot voidaan nimittäin kirjoittaa eksponenttifunktioiden avulla niin sanotuissa Eulerin kaavoissa:

 

                      eix  = cos x + i sin x

 

                      e-ix  = cos x - i sin x                                    (12)

 

Tehtävä 17

 

Johda kaavoista (12) seuraavat tulokset:

 

                     

                     

                                       (13)

 

Eulerin kaavat ovat tavattoman tärkeitä differentiaaliyhtälöitä ratkottaessa ja muutenkin.

 

niiden avulla voidaan eksponenttifunktioita hyväksikäyttäen johtaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia.

 

Tehtävä 18

                      Johda Eulerin kaavojen avulla sini ja kosini funktioiden derivointisäännöt.

 

Tehtävä 19

                      Osoita että sin2x + cos2x = 1

 

 

Tehtävä 20

 

Nyt voit osoittaa, että ratkaisut (10) ja (11) ovat samat. Toisin sanoen etsi relaatiot vakioiden A , B ja  α , β välille.

 

Palataan sitten takaisin harmonisen oskillaattorin liikeyhtälöön

 

                      x”(t) + ω2x(t) = 0                 (14),

 

missä   (vertaa yhtälö (5))

 

Aiemmin osoitettiin, että tällä on ratkaisu

 

 

                      x(t) = A cos(ωt) + B sin(ωt) (7).

 

Tehtävä 21

 

Osoita, että yhtälöllä (14) on myös ratkaisu:

 

                                                        (15)

 

Tehtävä 22

 

Osoita taas ratkaisut (15) ja (7) samoiksi. Toisin sanoen etsi relaatiot vakioiden A , B ja  α , β välille.

 

Karakteristinen yhtälö

 

Tällainen vakio kertoiminen lineaarinen ja homogeeninen differentiaaliyhtälö voidaan ratkaista yksinkertaisesti karakteristisella yhtälöllä.

 

Jos meillä on esimerkiksi yhtälö muotoa:

 

                      a y”(x) + b y’(x) + c y(x)

 

muodostetaan karakteristinen yhtälö seuraavasti:

 

                      a r2 + b r + c = 0

 

Sitten ratkaistaan tämä algebraalinen yhtälö r:n suhteen.  Jos saadaan kaksi ratkaisua r1 r2

niin yhtälön ratkaisu on

 

                      y(x) = A er1x + B er2x            (16)

 

Jos ratkaisuja on vain yksi r on differentiaaliyhtälöllä ratkaisu:

 

                      y(x) = A erx + B x erx

 

 

Esimerkki

Ratkaistaan yhtälö (9)

 

                      y”(x) = y(x)                          (9)

 

Muutetaan se muotoon:

 

                      y”(x) - y(x) = 0                                         

 

Muodostetaan karakteristinen yhtälö  r2 – 1 = 0,

jolla on ratkaisut r1 = +1 ja r2= -1.

 

Kaavan (16) mukaan saadaan:      y(x) = A ex + B e-x  . Vertaa tehtävä  14.

 

Tehtävä 23

 

Lopultakin päästään ratkaisemaan harmonisen oskillaattorin yhtälö:

 

                      x”(t) + ω2x(t) = 0                 (14) kätevästi karakteristisella yhtälöllä.

 

Tee se, vertaa aikaisempiin tuloksiin ja oivalla miksi höpinä Eulerin kaavoista oli niin tärkeää.

 

Mitä tekisikään yhtälössä (14) termi, joka sisältäisi ensimmäisen derivaatan x’(t)?  no se aiheuttaa värähtelyn vaimenemisen (vastusvoimat ovat usein nopeuteen verrannollisia). Seuraavassa tehtävässä käsitellään kriittinen vaimennus

 

 

Tehtävä 24

 

Ratkaise yhtälö: x”(t) + 2ωx’(t) + ω2x(t) = 0                   

 

piirrä ratkaisut.

 

 

Jos intoa riittää voit tarkastella alikriittisen ja ylikriittisenkin tapauksen

 

                      x”(t) +γx’(t) + ω2x(t) = 0

 

missä γ <  2ω  alikriittinen,

 

ja  γ >  2ω  , ylikriittinen.