Kunnia lauselogiikan kehittämisestä kuuluu Boolelle. Hän oli matemaatikko ja halusi esittää logiikan matematiikan avulla.
Frege ja Russell puolestaan olivat ensisijaisesti filosofeja joiden mielestä matematiikka tuli palauttaa logiikkaan.
Niin tai näin, lauselogiikka on hieno teoria. Se on aksiomatisoitavissa ja täydellinen.
Lähtökohtana ovat atomilauseet joiden totuusarvot ( T = tosi, tai E = epätosi) tunnetaan. Muodollisesti meillä on tosien atomilauseiden joukko M = {A, B, C ...}.
Atomilauseista voidaan muodostaa yhä monimutkaisempia lauseita käyttäen loogisia konnektiiveja:
| konjunktio | ja | Ù |
| disjunktio | tai | Ú |
| negaatio | ei | Ø |
| implikaatio | jos, niin | ® |
| ekvivalenssi | on yhtäpitävää | « |
Ø®«ÚÙ
Lause A ja B eli, A Ù B on totta vain jos molemmat atomilauseet A sekä B ovat tosia.
Esimerkiksi lause Tänään paistaa Aurinko ja torilla on paljon ihmisiä. on muodostettu konjunktiolla atomilauseista
A = Tänään paistaa Aurinko.
B = Torilla on paljon ihmisiä.
Yhdistelmälause on luonnollisesti tosi vain jos molemmat asiantilat vallitsevat.
Konjunktiolauseen totuus voidaan päätellä täysin mekaanisesti totuustaulukon avulla:
| A | B | AÙB |
| T | T | T |
| T | E | E |
| E | T | E |
| E | E | E |
Lause Tänään paistaa Aurinko tai torilla on paljon ihmisiä, on yhdistetty tai sanalla, eli disjunktiolla samoista atomilauseista.
A = Tänään paistaa Aurinko.
B = Torilla on paljon ihmisiä.
Disjunktiolauseen A Ú B totuustaulukko on tietysti erilainen.
Nyt riittää se, että jompikumpi atomilauseista on tosi. Saamme siis totuustaulukon
| A | B | A Ú B |
| T | T | T |
| T | E | T |
| E | T | T |
| E | E | E |
Tämä konnektiivi ei varsinaisesti yhdistä kahta lausetta, vaan muuttaa lauseen totuusarvon.
Lauseen:
A = Tänään paistaa Aurinko.
negaatio on lause:
ØA = Tänään ei paista Aurinko.
Negaation totuustaulu on:
| A | ØA |
| T | E |
| E | T |
Edellisten esimerkkien mukainen lause A ® B on:
Jos tänään paistaa Aurinko niin torilla on paljon ihmisiä.
Voidaan myös sanoa, että Auringon paistamisesta seuraa, että torilla on paljon ihmisiä:
Implikaation totuustaulu määritellään seuraavasti:
| A | B | A ® B |
| T | T | T |
| T | E | E |
| E | T | T |
| E | E | T |
Taulukon filosofia on siinä, että epätodesta lauseesta (premissistä) voi seurata mitä tahansa. Sen sijaan todesta lauseesta voi loogisesti seurata vain tosia lauseita (johtopäätöksiä).
Lauseiden A = Tänään paistaa Aurinko ja B = Torilla on paljon ihmisiä, välinen ekvivalenssi:
A «B
tarkoittaa sitä, että molemmat atomilauseet ovat samanaikaisesti tosia tai epätosia. Totuustaulukko on näin
| A | B | A « B |
| T | T | T |
| T | E | E |
| E | T | E |
| E | E | T |
Milloin lause A ® (A Ù B) on totta. Tällainen tehtävä voidaan ratkaista puhtaan mekaanisesti totuustaulukon avulla:
| A | B | A Ù B | A ® (A Ù B) |
| T | T | T | T |
| T | E | E | E |
| E | T | E | T |
| E | E | E | T |
Lopputulos: Kyseinen lause on totta aina, ellei A ole totta ja B epätotta .